雅可比迭代法_雅克比迭代法

雅克比迭代法为什么比直接法好

方法简单。根据查询雅克比迭代法相关资料得知，雅克比迭代法具有方法简单，存储空间小所以比直接法好。

雅可比迭代法_雅克比迭代法

1、迭代法是一种常使用求解大型、稀疏线性方程组的方法，相比直接解法，迭代解法在高性能并行实现上拥有很大的优势。

2、问题通常需要通过计算机设计算法来解决，当未知数非常多，问题规模非常大的时候，直接法占用的内存非常大，而迭代法占用的内存比较少。

雅克比迭代法收敛问题 ，矩阵 ，特征方程，求高手解答啊

结果为t>5。首先计算雅可比迭代的迭代矩阵，再计算其行范数或者列范数，使其范数小于1，迭代过程就收敛。

或者计算迭代矩阵的谱半径。要想雅克比迭代收敛，其迭代矩阵的谱半径要小于1，即迭代矩阵的特征值要小于1。

雅可比迭代法和高斯赛德尔迭代法的迭代矩阵怎么求?

1. 用雅克比迭代法和高斯--赛德尔迭代法求解下列方程组，取迭代初值[0;0;0]。

(1) 编程求解，并与用数学软件求解的结果对比。

(2) 考察迭代法的收敛性，若均收敛，对比两种方法的收敛速度。

解：源程序：

①雅克比迭代法：建立函数文件jacobi.m

function [n,x]=jacobi(A,b,X,nm,w)

%用雅克比迭代法求解方程组Ax=b

%输入：A为方程组的系数矩阵，b为方程组右端的列向量，X为迭代初值构成的列向量，nm为迭代次数，w为误精度

%输出：x为求得的方程组的解构成的列向量，n为迭代次数

n=1;

m=length(A);

D=diag(diag(A)); %令A=D-L-U,计算矩阵D

L=tril(-A)+D; %令A=D-L-U,计算矩阵L

U=triu(-A)+D; %令A=D-L-U,计算矩阵U

M=inv(D)(L+U); %计算迭代矩阵

g=inv(D)b; %计算迭代格式中的常数项

%下面是迭代过程

while n<=nm

x=MX+g; %用迭代格式进行迭代

if norm(x-X,2)

disp('迭代次数为');n

disp('方程组的解为');x

return;

%上面：达到精度要求就结束程序，输出迭代次数和方程组的解

end

X=x;n=n+1;

end

%下面：如果达到迭代次数仍不收敛，输出警告语句及迭代的终结果（并不是方程组的解）

disp('在迭代次数内不收敛!');

disp('迭代次数后的结果为');x

②高斯赛德尔迭代法：建立函数文件gaussseidel.m

function [n,x]=gaussseidel(A,b,X,nm,w)

%用高斯-赛德尔迭代法求解方程组Ax=b

%输入：A为方程组的系数矩阵，b为方程组右端的列向量，X为迭代初值构成的列向量，nm为迭代次数，w为误精度

%输出：x为求得的方程组的解构成的列向量，n为迭代次数

n=1;

m=length(A);

I=eye(m); %生成mm阶的单位矩阵

D=diag(diag(A)); %令A=D-L-U,计算矩阵D

L=tril(-A)+D; %令A=D-L-U,计算矩阵L

U=triu(-A)+D; %令A=D-L-U,计算矩阵U

M=inv(D-L)U; %计算迭代矩阵

g=inv(I-inv(D)L)(inv(D)b); %计算迭代格式中的常数项

%下面是迭代过程

while n<=nm

x=MX+g; %用迭代格式进行迭代

if norm(x-X,2)

disp('迭代次数为');n

disp('方程组的解为');x

return;

%上面：达到精度要求就结束程序，输出迭代次数和方程组的解

end

X=x;n=n+1;

end

%下面：如果达到迭代次数仍不收敛，输出警告语句及迭代的终结果（并不是方程组的解）

disp('在迭代次数内不收敛!');

disp('迭代次数后的结果为');x

运行过程及结果：

①雅克比迭代法的运行过程及结果为：

>> A=[10,3,1;2,-11,3;1,3,12];

b=[2;-5;4];

X=[0;0;0];

nm=50;

w=10^-6;

>> jacobi(A,b,X,nm,w)

迭代次数为

n =

14

方程组的解为

x =

0.0254

0.5144

0.2026

②高斯赛德尔迭代法的运行过程及结果为：

>> A=[10,3,1;2,-11,3;1,3,12];

b=[2;-5;4];

X=[0;0;0];

nm=50;

w=10^-6;

>> gaussseidel(A,b,X,nm,w)

迭代次数为

n =

6方程组的解为

x =

0.0254

0.5144

0.2026

③用matlab中的A\b命令的运行过程及结果如下：

>> A=[10,3,1;2,-11,3;1,3,12];

b=[2;-5;4];

>> A\b

ans =

0.0254

0.5144

0.2026

(1)由运行结果可知，编程得到的方程组的解为[0.0254;0.5144;0.2026]。而用matlab中的A\b命令求出的方程组的解为[0.0254;0.5144;0.2026]，完全一致。

(2)由运行过程可知，两种方法均收敛，雅克比迭代次数为14，高斯赛德尔迭代次数为6，说明后者的迭代速度比前者快。

2.用超松弛迭代法求解方程组，分别取松弛因子 ，取迭代初值[0;0;0]，迭代30次或满足 时停止计算。

(1) 编程求解，并与用数学软件求解的结果对比。

(2) 考察迭代是否收敛，若收敛，松弛因子取何值时收敛快，与有关定理的结论对照，看结果是否一致。

解：源程序：

①超松弛迭代法：建立函数文件sor22.m

function [n,x]=sor22(A,b,X,nm,w,ww)

%用超松弛迭代法求解方程组Ax=b

%输入：A为方程组的系数矩阵，b为方程组右端的列向量，X为迭代初值构成的列向量，nm为迭代次数，w为误精度，ww为松弛因子

%输出：x为求得的方程组的解构成的列向量，n为迭代次数

n=1;

m=length(A);

D=diag(diag(A)); %令A=D-L-U,计算矩阵D

L=tril(-A)+D; %令A=D-L-U,计算矩阵L

U=triu(-A)+D; %令A=D-L-U,计算矩阵U

M=inv(D-wwL)((1-ww)D+wwU); %计算迭代矩阵

g=wwinv(D-wwL)b; %计算迭代格式中的常数项

%下面是迭代过程

while n<=nm

x=MX+g; %用迭代格式进行迭代

if norm(x-X,'inf')

disp('迭代次数为');n

disp('方程组的解为');x

return;

%上面：达到精度要求就结束程序，输出迭代次数和方程组的解

end

X=x;n=n+1;

end

%下面：如果达到迭代次数仍不收敛，输出警告语句及迭代的终结果（并不是方程组的解）

disp('在迭代次数内不收敛!');

disp('迭代次数后的结果为');x

②向后超松弛迭代法：建立函数文件sorxh22.m

function [n,x]=sorxh22(A,b,X,nm,w,ww)

%用向后超松弛迭代法求解方程组Ax=b

%输入：A为方程组的系数矩阵，b为方程组右端的列向量，X为迭代初值构成的列向量，nm为迭代次数，w为误精度，ww为松弛因子

%输出：x为求得的方程组的解构成的列向量，n为迭代次数

n=1;

m=length(A);

D=diag(diag(A)); %令A=D-L-U,计算矩阵D

L=tril(-A)+D; %令A=D-L-U,计算矩阵L

U=triu(-A)+D; %令A=D-L-U,计算矩阵U

M=inv(D-wwU)((1-ww)D+wwL); %计算矩阵迭代矩阵

g=wwinv(D-wwU)b; %计算迭代格式中的常数项

%下面是迭代过程

while n<=nm

x=MX+g; %用迭代格式进行迭代

if norm(x-X,'inf')

disp('迭代次数为');n

disp('方程组的解为');x

return;

%上面：达到精度要求就结束程序，输出迭代次数和方程组的解

end

X=x;n=n+1;

end

%下面：如果达到迭代次数仍不收敛，输出警告语句及迭代的终结果（并不是方程组的解）

disp('在迭代次数内不收敛!');

disp('迭代次数后的结果为');x

③对称超松弛迭代法：建立函数文件ssor22.m

function [n,x]=ssor22(A,b,X,nm,w,ww)

%用对称超松弛迭代法求解方程组Ax=b

%输入：A为方程组的系数矩阵，b为方程组右端的列向量，X为迭代初值构成的列向量，nm为迭代次数，w为误精度，ww为松弛因子

%输出：x为求得的方程组的解构成的列向量，n为迭代次数

n=1;

m=length(A);

I=eye(m); %生成mm阶的单位矩阵

D=diag(diag(A)); %令A=D-L-U,计算矩阵D

L=tril(-A)+D; %令A=D-L-U,计算矩阵L

U=triu(-A)+D; %令A=D-L-U,计算矩阵U

%下面计算迭代矩阵和迭代格式中的常数项

M=inv(D-wwU)((1-ww)D+wwL)inv(D-wwL)((1-ww)D+wwU); g=wwinv(D-wwU)(I+((1-ww)D+wwL)inv(D-wwL))b;

%下面是迭代过程

while n<=nm

x=MX+g; %用迭代格式进行迭代

if norm(x-X,'inf')

disp('迭代次数为');n

disp('方程组的解为');x

return;

%上面：达到精度要求就结束程序，输出迭代次数和方程组的解

end

X=x;n=n+1;

end

%下面：如果达到迭代次数仍不收敛，输出警告语句及迭代的终结果（并不是方程组的解）

disp('在迭代次数内不收敛!');

disp('迭代次数后的结果为');x

雅可比迭代法的工作原理

雅可比迭代法可求解线性方程组，亦可用于求实对称矩阵的特征值，原理是: 实对称矩阵A实施正交相似变换可得A的相似对角阵，即A~Λ。正交变换矩阵Q是一个旋转矩阵。看下面的例子。

概念：

雅克比迭代法就是众多迭代法中比较早且较简单的一种，其命名也是为纪念普鲁士数学家雅可比。雅克比迭代法的计算公式简单，每迭代一次只需计算一次矩阵和向量的乘法，且计算过程中原始矩阵A始终不变，比较容易并行计算。

考虑线性方程组Ax = b时，一般当A为低阶稠密矩阵时，用主元消去法解此方程组是有效方法。但是，对于由工程技术中产生的大型稀疏矩阵方程组(A的阶数很高，但零元素较多，例如求某些偏微分方程数值解所产生的线性方程组)，利用迭代法求解此方程组就是合适的，在计算机内存和运算两方面，迭代法通常都可利用A中有大量零元素的特点。雅克比迭代法就是众多迭代法中比较早且较简单的一种，其命名也是为纪念普鲁士数学家雅可比。

迭代过程

首先将方程组中的系数矩阵A分解成三部分，即:A = L+D+U，如图1所示，其中D为对角阵，L为下三角矩阵，U为上三角矩阵。

之后确定迭代格式，X^(k+1) = BX^(k) +f ，(这里^表示的是上标，括号内数字即迭代次数)，如图2所示，其中B称为迭代矩阵，雅克比迭代法中一般记为J。(k = 0,1，......)

再选取初始迭代向量X^(0)，开始逐次迭代。

收敛性

设Ax= b，其中A=D+L+U为非奇异矩阵，且对角阵D也非奇异，则当迭代矩阵J的谱半径ρ(J)<1时，雅克比迭代法收敛。

高斯—赛德尔迭代法与雅克比迭代法有何异同？

高斯迭代法可看作是雅克比迭代法的一种修正。两者的收敛速度在不同条件下不同，不能直接比较，即使在同样条件下，有可能对于同样的系数矩阵出现一种方法收敛，一种方法发散。

计算谱半径，普半径小于1，则收敛，否则不收敛。其中谱半径就是迭代矩阵J或者G的特征值。

也可用列范数或行范数判断,列范数或者行范数小于1，则收敛。但范数大于1时，不能说明其发散，还要通过计算谱半径来确定其收敛性。

扩展资料：

在数值线性代数中是用于求解线性方程组的迭代方法。 它以德国数学家卡尔·弗里德里希·高斯（Carl Friedrich Gauss）和菲利普·路德维希·冯·塞德尔（Philipp Ludwig von Seidel）命名，与雅可比方法相似。

虽然它可以应用于对角线上具有非零元素的任何矩阵，但只能在矩阵是对角线主导的或对称的和正定的情况下，保证收敛。

参考资料来源：

雅可比迭代法的计算公式

设n阶线性方程组

地球物理数据处理基础

的系数矩阵A非奇异，且对角元素aii（i＝1，2，…，n）均不为零。则可分别从方程组（5－1）的第i个方程解出xi（i＝1，2，…，n）。这样，方程组（5－1）就改写为同解方程组

地球物理数据处理基础

其分量形式可统一记为

地球物理数据处理基础

选取初始向量x（0）＝（x（0）1，x（0）2，…，x（0）n）T，将其代入方程组（5－3）的右端，进行次迭代，计算结果记为x（1）＝（x（1）1，x（1）2，…，x（1）n）T；再将x（1）代入方程组（5－3）的右端，进行第二次迭代，计算结果记为x（2）＝（x1（2），x2（2），…，xn（2））T。如此继续，就得到了如下迭代格式：

地球物理数据处理基础

记x（k）＝（x1（k），x（k）2，…，xn（k））T，按照式（5－4）进行迭代得出解向量序列｛x（k）｝的方法称为雅可比迭代法，简称J－迭代法。由于在式（5－4）每步迭代中，等式右端所有分量都是利用前一步的迭代结果，故又称为同步迭代法或简单迭代法。

由此可见，雅可比迭代法的迭代公式简单，每迭代一次只需计算一次矩阵和向量的乘法，在计算时只需用两组存储单元，以便存储x（k）和x（k＋1）。但必须指出，上述所得的向量序列｛x（k）｝是否收敛于Ax＝b的解是有条件的，而且即使同样是收敛的，还有收敛速度快慢的问题。

［例］用J－迭代法解方程组

地球物理数据处理基础

解：方程组的雅可比迭代计算式为

地球物理数据处理基础

若取x（0）＝（0，0，0）T，可得到表5－1所列迭代序列。

表5－1 迭代序列 若取ε＝10－4，则‖x（12）－x（11）‖∞<ε，可取x12＝（－0.000034，0.499988，0.000025）T为方程组的解。